Energia potencjalna grawitacji w polu centralnym

Ciało, puszczone swobodnie w różnych miejscach centralnego pola grawitacyjnego Ziemi, uderza w Ziemię i powoduje różne skutki. Gdybyśmy chcieli badać te skutki, to znowu najlepiej byłoby mierzyć skrócenie różnej ilości identycznych sprężyn. Powstaje pytanie: czy istnieje wielkość fizyczna opisująca stan ciała w danym miejscu pola grawitacyjnego, która poinformuje nas o tym jakie skutki spowoduje ono spadając swobodnie w polu grawitacyjnym? Istnienie takiej wielkości pozwoliłoby nam przewidzieć co się stanie? Podobnie jak energia kinetyczna ciała pozwalała nam przewidzieć, co w otoczeniu spowoduje poruszające się ciało. Istnienie takiej wielkości pozwoliłoby nam przewidzieć jaki np. będzie układ planet w Układzie Słonecznym po pewnym czasie. Astronomowie mogliby układać kalendarze i ustalać jaki będzie układ ciał niebieskich wokół Słońca w dowolnej przyszłej chwili. Rozpatrzmy zmianę energii kinetycznej ciała swobodnie spadającego w centralnym polu grawitacyjnym (rysunek obok). Na ciało działa zmieniająca się siła grawitacji (maleje ona odwrotnie proporcjonalnie z kwadratem odległości r od centrum pola). Jak obliczyć zmianę energii kinetycznej ciała podlegającego działaniu zmieniającej się siły F = Fg? Jak wiemy zmaiana energii kinetycznej jest równa pracy siły działającej na ciało. Poznaliśmy pracę wykonywaną tylko przez stałe siły. Jakpostąpić w sytuacji, gdy siła sięzmienia? Nasuwa się myśl, że trzeba wziąć jakąś wartość średnią. Rzeczywiście tak jest. Tylko jaką średnią? Doświadczenie pokazuje, że nie może to być średnia arytmetyczna, tylko średnia geometryczna.



Średnią arytmetyczną c dwóch liczb a i b znajdujemy ze wzoru c = (a + b):2.

Średnią geometryczną c dwóch liczb a i b znajdujemy ze wzoru c2 = ab.      

Średnią geometryczną sił grawitacji działających na ciało swobodnie spadające na początku i na końcu przedstawia wzór:

Wstawiając do ostatniej zależności wzory:

Zmiana energii kinetycznej ciała jest:

Ostatnie równanie zapiszemy w postaci:

Zauważmy, że w ostatnim równaniu:

Umawiamy się (definiujemy), że energia potencjalna grawitacji ciała w centralnym polu grawitacyjnym to:

Zdziwienie może budzić, że energia potencjalna grawitacji jest ujemna. Nie ma to większego znaczenia, ponieważ nie jest istotna energia Epg tylko jej zmiany Epg. Zmiana dwóch wielkości ujemnych może być dodatnia. To zmiana energii decyduje o tym, jakie będą skutki oddziaływania ciała z otoczeniem. Energia potencjalna, tak jak i energia kinetyczne, jest wielkością względną. Ze definicji energii potencjalnej wynika, maleje ona wraz ze wzrostem dległości od centrum pola. Energia potencjalna grawitacji jest największa i równa zero w nieskończoności.
Równanie zaznaczone wyżej gwiazdką możemy zapisać w postaci: