Składanie drgań prostopadłych

Gdy kulkę wahadła A z rysunku obok odchylimy w płaszczyźnie prostopadłej do płaszczyzny rysunku, a jednocześnie kulkę wahadła B odchylimy w płaszczyźnie do niej prostopadłej, i jeśli pozwolimy obu wahadłom drgać swobodnie, to drganie kulki B (będące teraz drganiem wypadkowym dwóch drgań wzajemnie prostopadłych) będzie skomplikowane i zależne od amplitud, okresów oraz różnicy faz drgań składowych. Kształty torów zakreślonych przez kulkę B możemy opisać za pomocą równań, jak i znaleźć geometrycznie (wykreślić). Ponieważ kulka wahadła B uczestniczy w dwóch drganiach harmonicznych, odbywających się w kierunkach wzajemnie prostopadłych, to możemy z tymi kierunkami związać prostokątny układ współrzędnych x0y, umieszczając jego początek w miejscu, w którym kulka B pozostaje w równowadze (rysunek z prawej strony).
Niech ogólnie drgania składowe mają te same częstości , różne amplitudy A i różnią się w fazie o :

1. Jeśli unieruchomimy wahadło A, a
a) wahadło B odchylimy wzdłuż osi x, to będzie ono drgać wzdłuż tej osi, a jego ruch opisze funkcja sinus (niebieska linia pozioma),
b) wahadło B odchylimy wzdłuż osi y, to będzie ono drgać wzdłuż tej osi, a jego ruch opisze też funkcja sinus (niebieska linia pionowa),
c) wahadło B odchylimy wzdłuż osi x, a wahadło A wzdłuż osi y (wtedy = 0), to będzie ono drgać wzdłuż prostej ukośnej (kolor czerwony). Wtedy:

Dzieląc te równania stronami i porządkując mamy:

Jest to równanie prostej, którą zakreśla ciało (kolor czerwony na rysunku). Amplitudę tego drgania znajdziemy z rysunku, stosując twierdzenie Pitagorasa:

W celu wykreślenia tych drgań na wykresie x,y musimy odłożyć na osiach punkty dla takich czasów, dla których łatwo znajdziemy wartość funkcji sinus. Najlepiej będzie zrobić to co jedna dwunasta okresu:

Dla pozostałych czasów wartości x oraz y będą się powtarzać.

2. Gdy drgania składowe mają te same okresy, różne amplitudy, a początkowa różnica faz jest 90o, wtedy:

Podnosząc obie strony ostatnich równań do kwadratu i dodając otrzymane wyniki stronami do siebie, mamy:

Ostatnie równanie jest równaniem elipsy. Wtedy ciało biorące udział w dwóch ruchach harmonicznych porusza się po elipsie o półosiach A1 i A2. Dla A1 = A2 równanie to przyjmie postać: x2 + y2 = A2, co jest równaniem okręgu.

Ustalając u drgań składowych różne amplitudy, częstotliwości i różnice faz początkowych otrzymujemy najróżniejsze krzywe zwane krzywymi Lissajousa (krzywe lisażu), co przedstawia rysunek poniżej.

Wiele interesujących krzywych Lissajousa można obejrzeć pod adresem:
http://cmf.p.lodz.pl/markras/animki/lisaju/lisaju.html