Równanie zwierciadła kulistego

W celu wyprowadzenia równania zwierciadła kulistego skorzystamy z konstrukcji geometrycznej w celu znalezienia obrazu w zwierciadle, gdy przedmiot znajduje się w odlehgłości x > 2f od wierzchołka zwierciadła. Aby znaleźć obraz wykorzystamy dwa promienie, z których:
- jeden 1 pada na wierzchołek zwierciadła i odbija się pod takim samym kątem 1,
- drugi 2, biegnący przez środek krzywizny zwierciadła (dla niego kąt padania i odbicia są równe zero), po odbiciu wraca tą samą drogą 2.

Z podobieństwa trójkątów BAC i B/A/C mamy powiększenie:

Z podobieństwa trójkątów BAO i B/A/O mamy powiększenie:

Z porównania obu wzorów na powiększenia znajdujemy równanie zwierciadła kulistego:

Jest to związek między ogniskową zwierciadła f, odległością przedmiotu x, i odległością jego obrazu y od wierzchołka zwierciadła.

Z równania zwierciadła mamy zależność między odległością obrazu y a odległością przedmiotu x od wierzchołka zwierciadła:

Wykres tej zależności znajduje się z prawej strony. Wynika z niego, że:

- dla 0 < x < f, y maleje od zera do minus nieskończoności. Powstaje wtedy obraz pozorny i powiększony.
- dla x > f, y maleje od nieskończoności do f. Powstaje wtedy obraz rzeczywisty, i początkowo (do x = f do x = y = 2f) powiększony, a potem od x < y pomniejszony.


Równanie zwierciadła poprawnie opisuje również zwierciadło kuliste wypukłe, dla którego f < 0.