7. Jednoczesność zdarzeń.

Wyobraźmy sobie wagon kolejowy, na środku którego znajduje się wyrzutnia piłeczek. (rys. 3) Dwie identyczne sprężyny w tej samej chwili wyrzucają z prędkością v dwie identyczne piłeczki w kierunku przeciwległych ścian. Wagon porusza się jednostajnie, prostoliniowo z prędkością u względem peronu. Obliczymy czas po jakim piłeczki dotrą do przeciwległych ścian. Obliczeń dokonamy z punktu widzenia pasażera znajdującego się w pociągu (względem układu odniesienia poruszającego się) i z punktu widzenia zawiadowcy stacji stojącego na peronie (względem nieruchomego układu odniesienia).

Obserwator ruchomy O/ (pasażer w wagonie) stwierdza, że obie piłeczki poruszają się z prędkościami v i przebywają odległości l (pół długości wagonu).
Czasy po jakich dotrą one do ścian są:

Obserwator ruchomy powie, że oba zdarzenia (dotarcie piłeczek do przeciwległych ścian) są jedmoczesne.

Obserwator nieruchomy O/ (zawiadowca stacji stojący na peronie – rys. 4) stwierdzi, że jeśli w chwili początkowej oba układy odniesienia pokrywały się to:

- po czasie t1, piłeczka wyrzucona w lewo z prędkością o wartości v - u, pokonała drogę x1 (równą połowie długości wagonu l pomniejszonej o drogę ut1 , jaką   przebyła ściana wagonu - ściana wagonu biegnie naprzeciw piłeczki):

- po czasie t2, piłeczka wyrzucona w prawo z prędkością o wartości v + u, pokonała drogę x2 (równą połowie długości wagonu l powiększonej o drogę ut2 , jaką   przebyła ściana wagonu - ściana wagonu ucieka przed piłeczką):


Obserwator nieruchomy powie, że t1 = t2, czyli i dla niego oba zdarzenia (dotarcie piłeczek do przeciwległych ścian) są jednoczesne.

Problem jednoczesności rozpatrzyliśmy tak, jak to robimy w zadaniach z kinematyki ruchu prostoliniowego.

Dokonując analizy omówionego wyżej zjawiska w oparciu o transformacje Galileusza problem ten sprowadzamy do transformacji współrzędnych z jednego układu odniesienia do drugiego. Jeśli w układzie nieruchomym zjawisko fizyczne (ruch piłeczki od chwili wyrzutu w prawo do chwili dotarcia do ściany) zaszło między punktami o współrzędnych x1 i x2 i trwało czas

to korzystając z transformacji Galileusza:

Z ostatniej równości otrzymujemy:

Rozwiązując ostatnie równanie mamy:

Stąd:

czyli wniosek taki sam jak poprzednio: odstęp czasu między dwoma zdarzeniami w jednym i drugim układzie odniesienia jest taki sam (oba zdarzenia w postaci dotarcia piłeczek do przeciwległych ścian, są równoczesne). Jeśli pomiar jakiejś wielkości fizycznej daje taki sam wynik w nieruchomym i poruszającym się układzie odniesienia (nie zmienia się przy przejściu z jednego do drugiego układu odniesienia), to taka wielkość jest niezmiennicza. Zatem:

przedział czasu jest niezmiennikiem transformacji Galileusza.

Oba przedstawione wyżej dowody są bezprzedmiotowe, jeśli uwzględnimy, że w transformacji Galileusza t = t/. Wtedy: t1 = t/1 oraz t2 = t/2.
Zatem: