Masa bezwładna i grawitacyjna

Masa bezwładna

Z pojęciem masy spotkałeś się już wielokrotnie w swoim życiu. Z mamą kupowałeś kilogram cukru i kilogram soli. Czy zastanawiałeś się czego jest tyle samo w kilogramie cukru i kilogramie soli? Przeczuwamy, że tyle samo jest materii. Co to znaczy, tyle samo materii? Starożytni wprowadzili pojęcie atomu jako najmniejszej, już dalej niepodzielnej, cegiełki materii, z której są zbudowane wszystkie ciała. Gdyby tak było, że istnieją atomy, z których zbudowane są wszystkie ciała, to mielibyśmy klarowną sytuację – w kilogramie cukru i soli byłaby taka sama ilość atomów. Doskonale wiemy, że cząstki, które nazywamy atomami są różne. Mają jądra składające się z różnej liczby protonów i neutronów. Wokół jąder krążą różne liczby elektronów. Cukier i sól składają się z różnych atomów, mają różne liczby protonów, neutronów, elektronów - ale ich masa jest taka sama! Co więc mierzymy kładąc sól i cukier na wadze? Jeśli masa byłaby odzwierciedleniem ilości materii w ciele to dwa ciała musiałyby mieć tyle samo protonów, neutronów, elektronów... A są jeszcze inne cząstki elementarne. Ponadto protony i neutrony w jądrze mają mniejszą masę niż wtedy, gdy są swobodne (poza jądrem). Całość bardzo się komplikuje. Z powyższych rozważań wynika, że: masa ciała nie jest odzwierciedleniem ilości materii w ciele. Pod pojęciem masy zawierają się dwie różne wielkości fizyczne. Szkoda, że w historii fizyki uczeni nazywali "masą" dwa różne pojęcia fizyczne. Jeśli "Strong Man" pcha mały samochód osobowy i jeśli hamulce nie są zaciągnięte, to wprawi on ten samochód w ruch bez wielkiego trudu (samochód dozna pewnego przyrostu prędkości). Jeśli ten sam mężczyzna zechce wprawić w ruch wagon kolejowy, to na pewno będzie miał kłopoty z nadaniem mu prędkości. Na pewno przyrost prędkości będzie wtedy mniejszy od tego, który nadał samochodowi osobowemu. W potocznym języku mówimy, że samochód ma mniejszą bezwładność, a wagon większą. Doskonale wiesz, że sześcian o boku 1 m, wykonany ze styropianu, ma mniejszą bezwładność, niż taki sam sześcian wykonany z żelaza (jeden jest łatwo wprawić w ruch, drugi trudniej). Bezwładność ciała oznaczać będziemy literą m. Z powyższej analizy wynika, że: bezwładność, to pewna cecha ciał, która objawia się wtedy, gdy chcemy im nadać przyspieszenie. To objawienie się tej cechy polega na stawianiu pewnego „oporu” sile, która chce zmienić ruch ciała (przyspieszyć je, opóźnić lub wprawić w ruch po okręgu - ogólnie: nadać przyspieszenie). Powiedzieliśmy już, że bezwładność ciał nierozerwalnie związana jest ze zmianą ich prędkości. Przeprowadzone badania wskazują, że nie zależy ona od jakichkolwiek warunków zewnętrznych (temperatura, ciśnienie, obecność pól grawitacyjnych, elektrycznych itp.), lecz wynika z istoty materii, z której ciała są zbudowane i np. ogrzewając ciało nie zmieniamy jego bezwładności i pod działaniem tej samej siły będzie ono zachowywać się tak jak przed ogrzaniem, tzn. zawsze uzyska taki sam przyrost prędkości pod działaniem takiej samej siły, chociaż jego objętość w wyniku ogrzania wzrośnie. Podobnie, gdy ciało przeniesiemy na Księżyc lub inną niż Ziemia planetę (przeniesiemy w inne pole grawitacyjne) - pod działaniem tej samej siły będzie ono uzyskiwać taki sam przyrost prędkości na Ziemi, na Księżycu, czy jakiejkolwiek planecie.

D. Holliday i R. ResnickD. Halliday, R. Resnick, Fizyka 1, PWN, W-wa 1983

  dają poglądowy przykład na to jak odróżnić ciężar ciała od jego masy. Otóż na Ziemi uczeń gimnazjum na pewno będzie miał kłopot z podniesieniem nad głowę ciężaru o masie 60 kg. Ten sam uczeń na Księżycu to samo ciało, które tam ma ciężar 6 razy mniejszy, podniesie bez problemów. Jeśli kopnie on ten sam ciężar, to skutek w postaci obolałej stopy będzie taki sam na Ziemi i Księżycu, ponieważ masa ciała jest taka sama na obu ciałach niebieskich. Próba wprawienia ciała w ruch (nadania mu przyspieszenia) na Ziemi i Księżycu wymaga przyłożenia takiej samej siły ze względu na taką samą masę ciała i bez względu na jego ciężar. I taka sama siła (zgodnie z trzecią zasadą dynamiki) podziała na stopę ucznia niezależnie czy to się dzieje na Ziemi czy Księżycu. Pomiaru bezwładności ciała możemy dokonać tylko w jeden sposób - w oparciu o drugą zasadę dynamiki - wtedy po raz pierwszy pojawia się bezwładność ciała. Zasada ta ma postać:

Z równania tego wynika, że:

Ostatnie równanie, to przepis na znalezienie bezwładności ciała. Chcesz znaleźć bezwładność ciała? Zmierz siłę przyłożoną do niego i przyspieszenie, jakie ta siła nadaje ciału i podziel przez siebie te dwie wielkości. Jeśli ciało w chwili początkowej spoczywało, to jego przyspieszenie znajdziemy ze wzoru: a = 2s/t2 i bezwładność będzie:

Z ostatniego wzoru wynika, że jednostką masy ciała jest:

masa ciała jest jednostkowa (równa 1kg) wtedy, gdy siła 1N nadaje mu przyspieszenie 1m/s2

Bezwładność ciał m fizycy nazywają masą bezwładną.

Wzorcem masy bezwładnej (jednostką), jest walec wykonany ze stopu platyny (90%) i irydu (10%) pieczołowicie przechowywany w Sevre/s pod Paryżem, w takich warunkach, aby ilość materii w nim zawartej nie ulegała zmianie, ponieważ od czasu do czasu zachodzi potrzeba porównania z nim wzorców 1 kg używanych w poszczególnych państwach. Jest to jeden kilogram (1 kg). Jednostka ta została usankcjonowana uchwałą I Generalnej Konferencji Miar w 1889r.

Masa grawitacyjna

Kiedy analizujemy siły grawitacji działające między dwiema kulami odległymi od siebie o r, to na pytanie, od czego zależy wartość siły grawitacji słyszymy: od odległości między nimi (poprawnie) i masy (ciało masywniejsze, mniej masywne w potocznym języku). Na pytanie czy chodzi tutaj o masę bezwładną ciała musimy odpowiedzieć przecząco. Masa bezwładna objawia się wtedy, gdy ciało podlega działaniu niezrównoważonej siły. Siły grawitacji działają również wtedy, gdy ciała spoczywają, więc nie może być mowy o masie bezwładnej. Wartości sił grawitacji działających na ciała umieszczane w polu grawitacyjnym zależą od indywidualnej ich cechy, która objawia się wtedy, gdy ciała te znajdą się w zewnętrznym polu grawitacyjnym (tak jak masa bezwładna ciał objawia się wtedy, gdy podlegają one działaniu niezrównoważonej siły). Podczas oddziaływań grawitacyjnych ciał objawia się następna ich cecha ciężkość c.

Ciężkość, to cecha ciał, która decyduje o tym, że siła grawitacji w danym punkcie pola grawitacyjnego
na nie działająca, jest większa lub mniejsza.

Ciężkość, tak jak bezwładność, nie zależy od czynników zewnętrznych, lecz wynika z istoty materii, z której ciała są zbudowane.

Umieszczając w tym samym punkcie pola grawitacyjnego ciała wykonane z identycznych materiałów o objętościach np.: 2,3,4,... razy większych (wówczas ich ciężkości c są również 2,3,4,...razy większe) i mierząc (jak w doświadczeniu Jolly/ego) siły grawitacji wówczas na nie działające stwierdzimy, że ich wartości Fg zależą wprost proporcjonalnie od ciężkości tych ciał c:     Fg ~ c.

Umieszczając to samo ciało o ciężkości c w polu grawitacyjnym wytworzonym przez ciała wykonane z identycznych materiałów o, objętościach np.: 2,3,4,... razy większych (wówczas ich ciężkości C są również 2,3,4,...razy większe) i mierząc (jak w doświadczeniu Jolly/ego) siły grawitacji wówczas na nie działające stwierdzimy, że ich wartości Fg zależą wprost proporcjonalnie od ciężkości tych ciał C (źródeł pola):   Fg ~ C.

Umieszczając ciało o ciężkości c w różnych odległościach r od ciała o ciężkości C, które jest źródłem pola grawitacyjnego, stwierdzamy, że:   Fg~1/r2.

Ujmując powyższe trzy zależności w jeden wzór mamy:

siła   grawitacji   działająca   między   dwoma   ciałami   punktowymi   zależy   wprost   proporcjonalnie od ich ciężkości a odwrotnie proporcjonalnie od kwadratu odległości między nimi



Związek między masą bezwładną i grawitacyjną

Doświadczenie, którego chyba nikt nie wykonywał, pokazałoby, że:

- jeśli będziemy badali ciała, wykonane z tego samego materiału i o objętościach 2,3,4... razy większych (mają bezwładności 2,3,4...itd. razy większe) to pod    działaniem tej samej siły poruszają się z przyspieszeniami 2,3,4...razy mniejszymi,

- te same ciała wprowadzone w to samo miejsce pola grawitacyjnego podlegają działaniu sił grawitacji 2,3,4... razy większych.


Z tego wynika, że: ciężkość ciała jest wprost proporcjonalne do jego bezwładności:

   C = kM    c = km,

gdzie: k to współczynnik proporcjonalności między ciężkościami ciał (C, c) i ich bezwładnościami (M, m)

Po uwzględnieniu ostatnich zależności prawo powszechnej grawitacji przyjmie postać:

Przyjęto oznaczać k2 = G (stała grawitacji) i wtedy prawo grawitacji ma znaną postać:

Z powyższych rozważań wynika, że stała grawitacji G jest współczynnikiem proporcjonalności między bezwładnością ciała m (objawiającą się jako „opór” stawiany sile wprawiającej ciało w ruch zmienny) i jego ciężkością c (objawiającą się większą lub mniejszą siłą grawitacji działającą na ciało w tym samym miejscu pola grawitacyjnego):

Historycznie ukształtowało się nazywać masą bezwładną wielkość fizyczną m we wzorze F = ma, a tę samą masę występującą we wzorze Fg = GMm/r2 masą grawitacyjną.

Sumując:

- gdy ciało porusza się z przyspieszeniem (nawet pod wpływem siły grawitacji – druga zasada dynamiki) to o jego masie mówimy: masa bezwładna,

- gdy ciało oddziaływuje grawitacyjnie (spoczywa lub porusza się – prawo powszechnej grawitacji) to o jego masie mówimy masa grawitacyjna.



Ciekawym jest ustalić w oparciu o wzór 2) jednostkę ciężkości ciała.