Praca a zmiana energii

Czy zmiana energii jest miarą pracy?

Po omówieniu zasad dynamiki i zasady zachowania pędu wszyscy autorzy podręczników z fizyki (dla gimnazjum, dla liceum i uniwersyteckich) mają w swoim repertuarze rozdział "Praca, moc, energia". Kolejność wielkości fizycznych w tytule tego rozdziału sugeruje ich "ważność". Rozdział ten zaczynają od definicji pracy:

Potem przychodzi czas na moc:

Deliberując nad pracą dochodzą do sformułowania wzoru na energię kinetyczną:

Wzór ten wynika z rozważań nad pracą. Potem następuje podsumowanie: zmiana energii kinetycznej ciała jest miarą wykonanej pracy, ponieważ W=Ek. Na lekcjach w gimnazjum, liceum czy na wykładach na studiach wygląda to tak, że nauczyciel przychodzi na zajęcia i rozpoczyna je od podania definicji pracy. Nie uzasadnia jej, bo jak uzasadnić potrzebę wprowadzenia takiego iloczynu? Uczeń musi przyjąć "na wiarę", że taka wielkość fizyczna jest i do czegoś będzie przydatna. Nauczyciel występuje w roli kogoś, kto więcej wie i definiuje wielkość, która do czegoś uczniowi się przyda. Przy takim podejściu, zmiana energii ciała jest sprawą "wtórną". O wszystkim decyduje wykonana praca. Autorzy takiego podejścia do tych zagadnień, na pytanie: "co to znaczy wykonać pracę?" , zazwyczaj odpowiadają: "podziałać siłą na pewnej drodze". Zastanówmy się, co z tej odpowiedzi wynika? Nic. Bo z takiej interpretacji pracy możemy dowiedzieć się tylko, że coś (nie wiadomo, co) się dzieje - ot, działa siła na pewnej drodze. Jakie są skutki tego działania to tego już nie wiemy. Możemy czasem dowiedzieć się, że "praca została zmagazynowana" w ciele (obowiązkowo w cudzysłowie). Po zdefiniowaniu pracy przed energią ciała, praca istnieje dalej "samodzielnym życiem" w oderwaniu od zmian energii ciała. Pojawiają się wtedy problemy "z przełożeniem" pracy na zmianę energii. Stąd słowna ekwilibrystyka w postaci "praca została zmagazynowana w ciele". Nie tak powinno wyglądać zaznajamianie uczniów z nową wiedzą. Wprowadzenie każdej definicji (a taką jest definicja pracy) winno wynikać z potrzeby istnienia takiej definicji. Potrzeba ta zaś pojawia się wtedy, gdy w oparciu o doświadczenie sformułujemy nowe prawo, w którym ta wielkość po raz pierwszy wystąpi - wtedy ją definiujemy. Ucznia należy doprowadzić do tego by "poczuł" potrzebę istnienia takiej, a nie innej definicji. To nie praca decyduje o przebiegu procesów fizycznych wokół nas się dziejących. O tym jak przebiegają procesy fizyczne decydują zmiany energii i przemiany energii jednego rodzaju w drugi, a nie enigmatyczne "wykonanie pracy". W dalszych rozważaniach pokażę, że określenie "praca", ma marginalne znaczenie (to słowo i definicja w fizyce mogłyby nie istnieć), i że iloczyn skalarny siły i przemieszczenia jest zmianą energii dokonaną w odpowiedni sposób. To, co powiedziałem wyżej, dotyczy bardzo poważnego problemu:, co jest pierwsze: praca, czy energia? Z którą z tych wielkości fizycznych najpierw zaznajamiać ucznia? Jeśli praca jest związana z przekazywaniem energii, to wydaje się naturalnym zdefiniować najpierw energię a potem omawiać sposoby jej przekazywania. Żartując, należałoby spytać: Co było pierwsze? Jajko, czy kura? Energia, czy praca? Twierdzę, że to energia była pierwsza, i spróbuję to uzasadnić.

Energia kinetyczna ciała.

Pokażę, jak na lekcji fizyki można wprowadzić pojęcie energii kinetycznej, uzasadniając potrzebę istnienia tej wielkości fizycznej. Lekcja ta winna odbywać się po wprowadzeniu pojęcia pędu i zasady jego zachowania. Poruszające się ciała, oddziaływując z otoczeniem, powodują w nim zmiany, których ciała spoczywające nie są w stanie dokonać. Rzucony kamień rozbija szybę powodując, że jej kawałki lecą w różne strony, a samochód rozgrzewa swoje hamulce podczas każdego hamowania.

Wśród skutków oddziaływań ciał poruszających się z otoczeniem można wyróżnić:

  1. wprawienie w ruch innego ciała w wyniku sprężystego z nim zderzenia (np. poruszająca się kula bilardowa, uderzając w spoczywającą, wprawia ją w ruch sama zwalniając),
  2. wzniesienie się ciała na pewną wysokość w polu grawitacyjnym Ziemi (np. kamień rzucony pionowo w górę oddziaływuje poprzez pole grawitacyjne z Ziemią i wznosi się z opóźnieniem na pewną wysokość),
  3. odkształcenie sprężyste otoczenia (np. ściśnięcie sprężyny przez uderzające w nią ciało, które podczas jej ściskania porusza się coraz wolniej.),
  4. ogrzanie się otoczenia i ciała w wyniku jego hamowania pod wpływem sił tarcia (np. jeśli rozpędzoną, otwartą dłonią pocieramy o drugą, to hamując zatrzyma się ona i wyraźnie odczujemy wzrost temperatury obu dłoni),
  5. ogrzanie się otoczenia i ciała w wyniku niesprężystego zderzenia (np. dwie kule plastelinowe po zderzeniu mają wyższą temperaturę niż przed, a bryła lodu przy odpowiednio dobranej prędkości, zderzając się ze ścianą zwiększa swoją temperaturę tak, że zamienia się w wodę).

Mechanika zajmuje się oddziaływaniami, którym towarzyszą pierwsze trzy skutki. Oddziaływaniami, którym towarzyszy zmiana temperatury ciał, zajmuje się, termodydynamika - te nas nie interesują. Wymienione przez nas pierwsze trzy zmiany w otoczeniu, spowodowane przez poruszające się ciało, zależą od stanu, w jakim znajdowało się ono w momencie rozpoczęcia oddziaływania i po jego zakończeniu. Z wielkości opisujących stan poruszającego się ciała uczniowie znają jego pęd. Czy pęd decyduje o rozmiarach zmian w otoczeniu dokonywanych przez poruszające się ciało? Rozstrzyga o tym doświadczenie.

Jeśli w polu grawitacyjnym Ziemi puścimy swobodnie dwa ciała: jedno o masie m1 = 1kg z wysokości h1=5m i drugie o masie m2 = 2kg z wysokości h2=1,25m (rysunek poniżej), to ciało o masie m2, uderzając o podłoże, ściska o x jedną sprężynę a ciało o masie m1 dwie takie sprężyny.

W chwili uderzenia o sprężyny oba ciała miały takie same pędy:

ale skutki ich oddziaływań, w postaci ilości ściśniętych sprężyn, są różne. Zatem:

pęd ciała nie informuje nas o tym, jakie zmiany w otoczeniu spowoduje poruszające się ciało.

Znając tylko pęd ciała nie jesteśmy w stanie przewidzieć, jakie będą skutki jego oddziaływania z otoczeniem. Np. w oparciu o pęd nie potrafimy przewidzieć o ile wzrośnie temperatura ciała hamującego pod wpływem sił tarcia, itp. Wynika stąd konieczność zdefiniowania nowej wielkości fizycznej, od której zależeć będą zmiany dokonywane w otoczeniu przez poruszające się ciała. Chciałoby się mieć taką wielkość fizyczną, charakteryzującą poruszające się ciało, która informowałaby nas, co się stanie? Jakie skutki w otoczeniu spowoduje poruszające się ciało? Tą wielkością jest energia kinetyczna ciała. Posiadanie przez ciało energii kinetycznej jest równoznaczne z posiadaniem przez nie zdolności do spowodowania zmian w otoczeniu, jakie wymieniliśmy na początku. Przyjmujemy, że:

jeśli poruszające się ciała ściskają o x dwie, trzy, itd. identyczne sprężyny,
to stracone przez nie ilości energii kinetycznych są odpowiednio dwa, trzy, itd. razy większe.

Skutek utracenia przez ciało energii kinetycznej w postaci ściskanych sprężyn jest łatwy w pomiarze (mierzymy długość skrócenia ściskanych sprężyn), a ponadto doświadczenia ze sprężyną mają tę ważną zaletę, że można je wielokrotnie powtarzać. Aby więc porównywać energie kinetyczne poruszających się ciał musimy doprowadzić do tego, aby wszystkie one spowodowały w otoczeniu tego samego rodzaju zmiany - ściśnięcie tych samych sprężyn. Nie umiemy jeszcze porównywać ze sobą skutku oddziaływań z otoczeniem w postaci, np. wzrostu temperatury oddziaływujących ciał z innym np. ze ściśnięciem sprężyny (to poznamy w ramach termodynamiki).

Postawmy teraz pytanie: od jakich wielkości fizycznych i w jaki sposób zależy energia kinetyczna ciała? Odpowiedzi na nie może dostarczyć tylko doświadczenie, w którym poruszające się ciała będą uderzać w identyczne sprężyny. W zasadzie nie potrzeba precyzyjnych pomiarów, aby stwierdzić, od jakich wielkości fizycznych zależy energia kinetyczna. To samo ciało przy prędkościach o różnych wartościach ściska w różny sposób sprężynę i ciała o różnych masach przy prędkościach o tych samych wartościach również w różny sposób ściskają sprężynę. Zatem:

energia kinetyczna Ek ciała zależy od jego masy m i wartości jego prędkości v.

Doświadczenie pokazuje, że nie ma innych czynników, które miałyby wpływ na energię kinetyczną ciała. Ustalenie, w jaki sposób energia kinetyczna ciała zależy od tych dwóch wielkości fizycznych wymaga przeprowadzenia dokładniejszych pomiarów (nie wiem czy takie pomiary kiedykolwiek zostały przeprowadzone w sposób jak niżej?). Rozpędzając ciała o masach m, 2m, 3m,... do tych samych prędkości, zaobserwujemy, że tracąc swoją energię kinetyczną, ściskają one tę samą sprężynę o długości x, 2x, 3x... Zatem:

energia kinetyczna ciała zależy wprost proporcjonalnie od jego masy:    Ek ~ m.


Rozpędzając to samo ciało do prędkości v, 2v, 3v,... zauważymy, że tracąc swoją energię kinetyczną ściskają one za każdym razem, o tę samą długość x, ilość: 22 = 4, 32 = 9, 42 = 16,... identycznych sprężyn. Zatem:

energia kinetyczna ciała zależy wprost proporcjonalnie od kwadratu jego prędkości:    Ek ~ v2.

Ujmując powyższe dwie zależności w równość mamy:

energia kinetyczna ciała zależy wprost proporcjonalnie od jego masy i kwadratu prędkości

We wzorze na energię kinetyczną pojawiła się w mianowniku cyfra 2. Nie ma to wpływu na definicję jednostek energii kinetycznej a pozwala na uniknięcie wprowadzenia dwójki w definicji pracy. Obojętnym gdzie znajdzie się ta cyfra - czy w definicji energii kinetycznej czy w definicji pracy. Zdecydowano umieścić ją w definicji energii kinetycznej. Powyższy wzór i jego sformułowanie słowne to prawo. Energia kinetyczna ciała zależy od jego masy i prędkości chwilowej, czyli od wielkości opisujących jego stan w danej chwili. Mówimy, że: energia kinetyczna opisuje stan ciała (jest funkcją stanu).

Zmiana energii kinetycznej ciała.

Niech ciało o masie m podlega działaniu wielu sił, których wypadkowa Fw ma stałą wartość różną od zera, a jej kierunek jest zgodny z kierunkiem prędkości ciała - wtedy ruch tego ciała jest jednostajnie przyspieszony, prostoliniowy. Zmiana jego energii kinetycznej jest:

gdzie: vo i v - to wartości prędkości w chwili początkowej i końcowej.

Korzystając z kinetycznych praw ruchu (równanie prędkości i równanie drogi w ruchu jednostajnie zmiennym):

s = vśrt    i    v = at

gdzie prędkość średnia vśr w ruchu jednostajnie zmiennym i przyrost prędkości v są:

otrzymujemy:

v2 - vo2 = 2as

Otrzymaną zależność wstawiamy do wzoru na zmianę energii kinetycznej otrzymując:

Ek = mas.

W ostatniej równości występuje iloczyn masy ciała i wartości jego przyspieszenia. Jeśli ciało podlega działaniu wielu sił,
to jego przemieszczenie jest spowodowane przez wypadkową tych sił Fw i zachodzi:

Fw = ma

Ponieważ rozpatrywany ruch jest prostoliniowy, więc wartość przebywanej drogi s i wartość przemieszczenia r, następującego w tym samym czasie, są sobie równe:

s = r

W ruchu prostoliniowym, jednostajnie przyspieszonym, kąt zawarty między kierunkiem wypadkowej siły nadającej ciału przyspieszenie Fw i kierunkiem spowodowanego przez nią przemieszczenia r, jest zawsze = 0. Wtedy cos =1 i możemy napisać, że:

Fw= Fw cos

Podstawiając ostatnie trzy zależności do wzoru na zmianę energii kinetycznej otrzymujemy:

Ek = Fwrcos.

Prawa strona ostatniej równości jest iloczynem skalarnym dwóch wektorów: wypadkowej siły Fw powodującej ruch prostoliniowy, jednostajnie przyspieszony i spowodowanego przez nią przemieszczenia r. Ostatni wzór możemy przedstawić w postaci:

  gdy na ciało działa stała, niezrównoważona siła wypadkowa to zmiana energii kinetyznej ciała jest równa iloczynowi skalarnemu tej siły i przemieszczenia ciała:

Ostatnie równanie to prawo. Odkryliśmy je dla przypadku, gdy wypadkowa sił działających na ciało jest stała, różna od zera, a jej kierunek jest zgodny z kierunkiem przemieszczenia ciała, czyli dla ruchu jednostajnie przyspieszonego, prostoliniowego. Prawo to jest słuszne dla każdego ruchu postępowego (nie tylko prostoliniowego, ale i krzywoliniowego) i dla każdej siły - nie tylko stałej, ale i zmiennej. Wynika z niego, że: zmiana energii kinetycznej określa zmianę stanu ciała, czyli charakteryzuje pewien proces fizyczny - działa siła i pod jej wpływem ciało doznaje przemieszczenia.

Zasada zachowania energii kinetycznej w ruchu postępowym

Z ostatniego prawa wynika, że gdy wypadkowa sił działających na ciało jest równa zero, to zmiana jego energii kinetycznej jest również równa zero. Zatem:

 gdy działająca na ciało siła wypadkowa jest równa zero, to zmiana energii kinetyznej ciała jest również równa zero: 

Ostatnie równanie to zasada zachowania energii kinetycznej ciała w ruchu postępowym.

Praca.

Iloczyn skalarny siły działającej na ciało i przemieszczenia, jakiego ono w tym czasie doznaje, należy widzieć szerzej. Wzór na zmianę energii kinetycznej został wyprowadzony dla pewnego szczególnego przypadku, tzn. przypadku, gdy siła wypadkowa jest stała, a kąt między jej kierunkiem i kierunkiem przemieszczenia ciała jest równy zero. Okazuje się, że wiele ciekawych informacji otrzymamy rozpatrując iloczyny skalarne dowolnych sił działających na ciało i przemieszczeń, jakich ono wtedy doznaje. Doświadczenie pokazuje, że zawsze zmiana energii kinetycznej ciała jest równa iloczynowi skalarnemu siły i przemieszczenia. Nasze rozważania skupimy na rozpatrzeniu sił stałych, działających na ciała poruszające się pod wpływem wypadkowej tych sił prostoliniowo. Umówiono się (zdefiniowano), że:

iloczyn skalarny działającej na ciało siły i jego przemieszczenia nazywamy pracą W:

Wartość pracy będzie wtedy liczona ze wzoru: W = Frcos.

Definicja pracy jak wyżej nie czyni żadnych zastrzeżeń na temat kąta zawartego między kierunkiem wypadkowej siły działającej na ciało i kierunkiem jego przemieszczenia. Dlatego kąt ten może przyjmować dowolne wartości, a praca może być dodatnia, ujemna lub równa zero, ponieważ funkcja cosinus również może być dodatnia, ujemna lub równa zero. Definicja pracy nie czyni również żadnych zastrzeżeń na temat rodzaju sił wykonujących pracę. Tak, więc każda siła działająca na ciało (składowa, wypadkowa, zrównoważona lub nie) wykonuje pracę. Po uwzględnieniu definicji pracy zmianę energii kinetycznej ciała możemy przedstawić w postaci:

 gdy na ciało działa stała, niezrównoważona siła wypadkowa to zmiana energii kinetyznej ciała jest równa pracy wykonanej przez tę siłę: 

Ze względu na ostatnią równość jednostki energii kinetycznej i pracy są identyczne. Definiujemy je w oparciu o definicję pracy. Jednostką pracy w układzie SI jest 1 dżul (1J):

1J to praca, jaką wykonuje stała siła o wartości 1N dokonująca
przemieszczenia ciała o wartości 1m w kierunku zgodnym
z kierunkiem przemieszczenia:

1J = 1Nm

Jednostka ta ma wymiar:

Praca jest przyrostem energii, dlatego:

1J to przyrost energii kinetycznej ciała następujący pod
wpływem wypadkowej, stałej siły o wartości 1N,
powodującej przemieszczenie o wartości 1m
zgodne z kierunkiem siły

Zaprezentowane powyżej, energetyczne, podejście do procesów fizycznych pokazuje że jeśli już chcemy używać słowa "praca", to pamiętajmy, że jest to zmiana energii dokonana w odpowiedni sposób (podziałała siła na pewnej drodze). Wtedy nie będziemy mieli kłopotów z "magazynowaniem pracy". Z powyższych rozważań wynika, że jeśli już, to:

praca jest miarą zmiany energii ciała.

Posługiwanie się pojęciem pracy jest, więc tylko skrótem myślowym, który umożliwia szybsze komunikowanie się, ale nic poza tym. Jeszcze raz powtórzmy:

o tym, co się dzieje w przyrodzie decydują zmiany energii i jej przemiany w inny rodzaj,
a praca to tylko nazwa zmiany energii ciała dokonanej w odpowiedni sposób.